Sobre números granizo y una conjetura indomable.

La Matemática encierra generalmente resultados sorprendentes que desafían  nuestra intuición. En este artículo os voy a comentar un problema,  en apariencia sencillo, pero que encierra detrás uno de los grandes misterios de la aritmética.  Y como tal, ha llamado la atención de muchos matemáticos, que han buscado dar una explicación al fenómeno, conocido como el de los números granizo. 

Comencemos por el principio. Los números se clasifican en dos grandes clases: los números pares y los impares. Podemos construir un algoritmo que funcione del siguiente modo: 

"Partimos de un numero natural n. Si el número obtenido es par lo dividimos  entre dos. Si es impar lo multiplicamos por tres y le sumamos uno al resultado. " 

De este modo, obtenemos una secuencia numérica que podría crecer mucho, ¿verdad?

Veamos un ejemplo.  Si partimos del número 7, que es impar, el siguiente término de la secuencia numérica sería 3 x 7 + 1 = 22. Como 22 es par lo dividimos entre 2, para obtener 11. Como 11 es impar lo multiplicamos por 3 y le sumamos uno. Obtenemos 34, que es nuevamente par. Lo dividimos entre dos, y obtenemos 17. Volvemos a multiplicar por 3 y sumamos uno. Obtenemos 52. Lo dividimos dos veces entre dos. Obtenemos 13.  La secuencia sería algo así...

7 --> 22 --> 11 --> 34 --> 17 --> 52 --> 26 --> 13 --> 40 --> 20 --> 10 --> 5 --> 16 --> 8  --> 4 --> 2 --> 1

Obtenemos finalmente 1.  Esto se denomina la órbita del 7, representada por Orb(7). Si realizamos el algoritmo a partir de 1, obtenemos un ciclo cerrado de orden 3, a saber:    1 --> 4  --> 2 ---> 1   ....

Volvamos a realizar el experimento. Partimos ahora del 9, que es un número impar. La secuencia obtenida sería:

9 --> 28 --> 14 --> 7 -->.... volvemos a las andadas... .repetimos el algoritmo  hasta llegar nuevamente al uno. La órbita del nueve enlaza con la del 7. 

Hagamos un tercer intento. Comencemos por 19, que es un número primo. La secuencia sería

19 --> 58 --> 29 --> 88 --> 44 --> 22 --> 11--> ... .y engancha nuevamente parte de la secuencia obtenida para el 7, hasta llegar a uno.

La pregunta que irremediablemente nos hacemos, es , ¿será cierto que siempre que apliquemos el algoritmo a cualquier número natural, llegamos a  terminar en 1? 

Pues por lo visto, se sospecha que sí, pero a fecha de hoy nadie lo ha conseguido probar al 100%. Bien es cierto que la conjetura se ha probado por métodos computacionales hasta órdenes muy elevados del valor inicial  y siempre, siempre  sucede que  la sucesión crece poco a poco, hasta llegar a una cota límite,  valor a partir del cual, comienzan a decrecer de manera abrupta los números,  como si de una lluvia de granizo se tratara hasta llegar al 1. De ahí el nombre de números granizo. 

Pueden probar con el número que deseen. Harán más o menos cuentas, y siempre terminarán en el ciclo del 1. Creemos que esto sucede para cualquier valor natural, pero no se ha conseguido demostrar la veracidad de esta afirmación, ni su falsedad. El problema sigue abierto, retando las mejores mentes del siglo XXI (de momento sin demasiado éxito).

La conjetura se conoce de muchas maneras: Collatz problem, el problema de Kakutani, la conjetura de Ulam, el problema de Siracusa...  por los contextos en los que fue hallada.

Si te animas ya sabes. Puedes consultar más información en el siguiente enlace:

https://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Collatz 

Como reto, os desafío a encontrar el número menor que 100 que genera la cadena más larga antes de alcanzar el 1. Esto nos daría una cota de la longitud de las órbitas para los números de dos cifras. ¿Te animas?